Uppgift 2

Funktionen är kontinuerlig i alla punkter utom $x=0$ och $x=-2$, där den har lodräta asymptoter eftersom
$$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to-2}f(x)=-\infty.$$
Vi ser också att
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=1,$$
men att
$$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-x)=+\infty$$
varför sneda asymptoter saknas. Derivation ger
$$f'(x)=\frac1{x+2}+\frac2x+1=\frac{x^2+5x+4}{(x+2)x},$$
dvs $f'(x)=0\implies x^2+5x+4=0\implies x=-4\lor x=-1$. Vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccccccc}x&&-4&&-2&&-1&&0&\\\hline f'&+&0&-&\text{ej def.}&+&0&-&\text{ej def.}&+\\f&\nearrow&5\ln2-4&\searrow&-\infty&\nearrow&-1&\searrow&-\infty&\nearrow\end{array}$$
Både $-4$ och $-1$ är alltså lokala maxpunkter (med maxvärden $5\ln2-4\approx-0,53$ och $-1$).

Globala extrempunkter saknas eftersom $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$.

Genom att derivera en gång till får vi
$$f''(x)=D\left(\frac1{x+2}+\frac2x+1\right)=-\frac1{(x+2)^2}-\frac2{x^2}<0,$$
vilket ger att funktionen är konkav på alla de tre intervallen $(-\infty,-2)$, $(-2,0)$ och $(0,\infty)$ (men inte på någon större mängd).