Uppgift 3
Betrakta alla rektanglar, med sidorna parallella med koordinat-axlarna, som får plats mellan $x$-axeln och kurvan $y=e^{-x^2}$. Avgör om det finns någon sådan rektangel med maximal area, samt bestäm i så fall dess storlek.
Hela analys · 2022-02-23
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Om en sådan rektangel har ett hörn på den positiva $x$-axeln i $(x,0)$, så kommer övriga hörn att ligga i $(-x,0)$, $(-x,e^{-x^2})$ och $(x,e^{-x^2})$, och dess area blir
$$A(x)=2xe^{-x^2}.$$
För att bestämma maximum beräknar vi derivatan:
$$A'(x)=2e^{-x^2}-4x^2e^{-x^2}=(2-4x^2)e^{-x^2}.$$
Denna har ett unikt nollställe på den positiva delen av $x$-axeln i $x=1/\sqrt2$, och eftersom derivatan är positiv på vänster sida och negativ på höger sida är detta en global maxpunkt på $[0,\infty)$. Vi får maxvärdet
$$\max=A\left(\frac1{\sqrt2}\right)=\sqrt{\frac2e}.$$