Uppgift 4

Eftersom
$$\frac{\partial f}{\partial x}=4x-4y,\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=-4x+1,$$
så följer det att $\nabla f(x,y)=0$ om och endast om $x=1/4$, $y=1/4$, som ger punkten $(1/4,1/4)$. Denna ligger i området och är därför en möjlig extrempunkt. Värdet i denna punkt är $1/8$.

Randen till området består av tre segment som ligger på linjerna $x=0$, $y=0$, $x+y=1$. Låt oss behandla dessa segment separat.

Om $x=0$ så antar $f$ samma värden som $h_1(t)=f(0,t)=t$, $0\le t\le1$, och $\max h_1=1$ och $\min h_1=0$.

Om $y=0$ så antar $f$ samma värden som $h_2(t)=f(t,0)=2t^2$, $0\le t\le1$, och $\max h_2=2$ och $\min h_2=0$.

Om $x+y=1$ så antar $f$ samma värden som $h_3(t)=f(t,1-t)=6t^2-5t+1$, $0\le t\le1$. Vi får derivatan $h_3'(t)=12t-5$ med det unika nollstället $t=5/12$ med funktionsvärdet $-1/24$. Eftersom $h_3(0)=1$ och $h_3(1)=2$ så följer att $\max h_3=2$ och $\min h_3=-1/24$.

Om vi nu jämför max och min för $h_1$, $h_2$, $h_3$ med värdet i den stationära funktionen i det inre ser vi att maximum för $f$ måste vara $2$ och minimum $-1/24$.