Uppgift 5

Eftersom triangeln $D$ är symmetrisk med avseende på $x$ och $y$, så kan räkningarna förkortas något genom att observera att
$$\iint_Dx\,dx\,dy=\iint_Dy\,dx\,dy,$$
vilket ger att
$$I=\iint_D(x+y)\,dx\,dy=2\iint_Dx\,dx\,dy.$$
För att beräkna den sista integralen delar vi upp $D=D_1\cup D_2$, där
$$D_1=\{(x,y)\mid\tfrac12x\le y\le2x,\ 0\le x\le1\},$$
$$D_2=\{(x,y)\mid\tfrac12x\le y\le3-x,\ 1\le x\le2\}.$$
Vi får
$$\begin{aligned} I&=2\iint_{D_1}x\,dx\,dy+2\iint_{D_2}x\,dx\,dy\\ &=2\int_0^1x\int_{x/2}^{2x}dy\,dx+2\int_1^2x\int_{x/2}^{3-x}dy\,dx\\ &=2\int_0^1x(2x-\tfrac12x)\,dx+2\int_1^2x(3-x-\tfrac12x)\,dx\\ &=\int_0^13x^2\,dx+\int_1^2(6x-3x^2)\,dx =[x^3]_0^1+[3x^2-x^3]_1^2=3. \end{aligned}$$