Uppgift 6

a) Ekvationen är linjär och vi delar med $\cos x$ för att få fram standardformen:
$$y'+y\tan x=\cos^2x,$$
En integrerande faktor på intervallet kring $x=\pi$ är $\mu(x)=1/\cos x$, eftersom $\mu'(x)/\mu(x)=\tan x$. Efter multiplikation med denna kan ekvationen skrivas om:
$$\frac{y'}{\cos x}+\frac{y\sin x}{\cos^2x}=\cos x\iff D\left(\frac y{\cos x}\right)=\cos x.$$
Integration ger:
$$\frac y{\cos x}=\sin x+C\iff y=\cos x\sin x+C\cos x.$$
Bivillkoret $y(\pi)=-1$ ger att $0-C=-1$ dvs $C=1$. Vi får alltså lösningen $y=\cos x\sin x+\cos x$.

b) Den karakteristiska ekvationen är
$$r^2-2r-15=0$$
med de reella rötterna $r_1=-3$ och $r_2=5$. Den homogena ekvationen har därför lösningen
$$y_h=C_1e^{-3x}+C_2e^{5x}.$$
En partikulärlösning kan sökas med ansatsen $y_p=ae^{-x}$, vilket ger $y_p'=-ae^{-x}$ och $y_p''=ae^{-x}$. Insatt i ekvationen får vi
$$y_p''-2y_p'-15y_p=ae^{-x}+2ae^{-x}-15ae^{-x}=-12ae^{-x},$$
som alltså ska sättas lika med högerledet $6e^{-x}$. Om vi nu jämför koefficienterna ser vi att $a=-1/2$. Detta ger partikulärlösningen $y_p=-\frac12e^{-x}$.

Vi får alltså sammantaget den allmänna lösningen
$$y=y_h+y_p=C_1e^{-3x}+C_2e^{5x}-\frac12e^{-x}.$$