Uppgift 1

(a) Förlänger vi med rotuttryckets konjugat får vi
$$\lim_{x\to\infty}x\left(1-\sqrt{1+\frac3x}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x(1-(1+\frac3x))}{1+\sqrt{1+\frac3x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3}{1+\sqrt{1+\frac3x}}=-\frac32.$$
(b) Med standardutvecklingarna $\sin(t)=t-t^3/3!+O(t^5)$, $\ln(1+t)=t-t^2/2+O(t^3)$ och $e^t=1+t+O(t^2)$ då $t\to0$ får vi
$$\begin{aligned} \frac{x\sin(x)-\ln(1+x^2)}{e^{x^4}-1} &=\frac{x(x-x^3/6+O(x^5))-(x^2-x^4/2+O(x^6))}{1+x^4+O(x^8)-1}\\ &=\frac{x^4/3+O(x^5)}{x^4+O(x^8)}=\frac{1/3+O(x)}{1+O(x^4)}\to\frac13 \end{aligned}$$
då $x\to0$.