Uppgift 3

I polära koordinater $\begin{cases}x=r\cos(\theta)\\y=r\sin(\theta)\end{cases}$ motsvaras området $D$ av området $E=\{(r,\theta)\in\mathbb R^2\mid1\le r\le\sqrt2,\ -\pi/2\le\theta\le\pi/2\}$ i $r\theta$-planet. Vi får
$$\begin{aligned} \iint_D\ln(1+x^2+y^2)\,dx\,dy &=\iint_E\ln(1+r^2)r\,dr\,d\theta\\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\int_1^{\sqrt2}r\ln(1+r^2)\,dr =\left[t=1+r^2,\ r\,dr=\frac12dt\right]\\ &=\frac\pi2\int_2^3\ln(t)\,dt=\frac\pi2[t\ln(t)-t]_{t=2}^{t=3} =\frac\pi2(3\ln(3)-1-2\ln(2)). \end{aligned}$$