Uppgift 4

Funktionen $f(x,y)=(2y+1)e^{x^2-y}$ är kontinuerlig på en kompakt mängd, samt partiellt deriverbar överallt, så enligt en känd sats finns globala maximum och minimum och dessa antas i inre stationära punkter eller på randen.

Vi börjar med att bestämma de stationära punkterna. Vi får
$$\begin{cases}0=\frac{\partial f}{\partial x}=2x(2y+1)e^{x^2-y}\\0=\frac{\partial f}{\partial y}=(1-2y)e^{x^2-y}\end{cases}$$
Från den andra ekvationen får vi att $y=1/2$, men då ger den första ekvationen att $x=0$. Så vi får endast den stationära punkten $(x,y)=(0,1/2)$, som tillhör området och därmed är en kandidat.

Den övre kanten $y=1$, för $-1\le x\le1$, ger $g(x)=f(x,1)=3e^{x^2-1}$, med $g'(x)=6xe^{x^2-1}$ så $g'(x)=0$ endast för $x=0$, vilket ger kandidatpunkten $(0,1)$.

Kanten $y=x^2$, för $-1\le x\le1$, ger $h(x)=f(x,x^2)=2x^2+1$ så $h'(x)=4x$, så $h'(x)=0$ omm $x=0$ vilket ger kandidatpunkten $(0,0)$.

De två hörnpunkterna $(\pm1,1)$ är de sista kandidaterna.

Jämför vi nu de funktionsvärdena i kandidatpunkterna får vi $f(0,1/2)=2/\sqrt e$, $f(0,0)=1$, $f(\pm1,1)=3$ samt $f(0,1)=3/e$, så vi ser att största värdet är $f(\pm1,1)=3$ och det minsta är $f(0,0)=1$.