Uppgift 5
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y'=1+y\tan(x)$ som uppfyller $y(0)=1$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $x^2yy'=1$ (där $x>0$) som uppfyller $y(1)=1$.
Hela analys · 2022-05-17
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
(a) Vi multiplicerar den linjära differentialekvationen $y'-\tan(x)y=1$ med den integrerande faktorn $e^{\ln(\cos(x))}=\cos x$ och får då
$$(y\cos(x))'=\cos(x).$$
Integrerar vi båda sidor får vi $y\cos(x)=\sin(x)+C$. Begynnelsevillkoret $y(0)=1$ ger nu att $C=1$, så $y(x)=(1+\sin(x))/\cos(x)$.
(b) Differentialekvationen är separabel, om vi skriver om den som $yy'=1/x^2$ och integrerar båda sidor får vi $y^2/2=-1/x+C$. Utnyttjar vi begynnelsevillkoret $y(1)=1$ får vi $C=3/2$, vilket ger $y=\pm\sqrt{3-2/x}$. Använder vi nu begynnelsevillkoret igen får vi att $y=\sqrt{3-2/x}$.