Uppgift 6

Vi sätter $f(x)=e^x$ och $g(x)=2+\ln x$. Tangenten till grafen $y=f(x)$ i en punkt $(a,f(a))$ ges av $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ vilket efter förenkling blir
$$y=e^ax+e^a(1-a).$$
Tangenten till grafen $y=g(x)$ i en punkt $(b,g(b))$ ges av $y-g(b)=g'(b)(x-b)$ vilket efter förenkling blir
$$y=\frac1bx+\ln(b)+1.$$
Dessa två tangenter sammanfaller om och endast om
$$\begin{cases}e^a=\frac1b\\e^a(1-a)=\ln(b)+1\end{cases} \iff\begin{cases}b=e^{-a}\\e^a(1-a)=1-a\end{cases} \iff\begin{cases}b=e^{-a}\\(e^a-1)(1-a)=0,\end{cases}$$
så vi får $(a,b)=(0,1)$ eller $(1,1/e)$. Det finns alltså precis två gemensamma tangenter och de har ekvationerna $y=x+1$ respektive $y=ex$.