Uppgift 1

(a) Förlänger vi med konjugatuttrycket får vi
$$\begin{aligned} n(\sqrt{n^4+4n}-\sqrt{n^4+n}) &=\frac{n((n^4+4n)-(n^4+n))}{\sqrt{n^4+4n}+\sqrt{n^4+n}}\\ &=\frac3{\sqrt{1+4/n^3}+\sqrt{1+1/n^3}}\to\frac3{1+1}=\frac32, \end{aligned}$$
då $n\to\infty$.

(b) Med standardutvecklingen $\arctan(t)=t-t^3/3+O(t^5)$ då $t\to0$ får vi
$$\begin{aligned} \frac{\arctan(x^2)-\arctan^2(x)}{x^4} &=\frac{(x^2-\frac{x^6}3+O(x^{10}))-(x-\frac{x^3}3+O(x^5))^2}{x^4}\\ &=\frac{x^2-\frac{x^6}3+O(x^{10})-(x^2-\frac{2x^4}3+O(x^5))}{x^4}\\ &=\frac{\frac{2x^4}3+O(x^5)}{x^4}=\frac23+O(x)\to\frac23, \end{aligned}$$
då $x\to0$.