Uppgift 3

Vi betraktar halvcirkeln $x^2+y^2\le R^2$, $y\ge0$, och låter rektangelns hörn vara de fyra punkterna $(x,y)=(\pm a,0)$ och $(\pm a,b)$, där $0\le a,b\le R$ och $a^2+b^2=R^2$.

Rektangelns omkrets blir då $l=4a+2b$. Löser vi ut $b$ från sambandet $a^2+b^2=R^2$ får vi $b=\sqrt{R^2-a^2}$, så
$$l(a)=4a+2\sqrt{R^2-a^2},\qquad0\le a\le R.$$
Funktionens maximum måste antas i intervallets ändpunkter eller i en stationär punkt. I ändpunkterna får vi $l(0)=2R$ och $l(R)=4R$. Man får
$$l'(a)=4-\frac{2a}{\sqrt{R^2-a^2}}.$$
Löser man ekvationen $l'(a)=0$ får man en enda stationär punkt $a=2R/\sqrt5$ med $l(2R/\sqrt5)=2\sqrt5R$. Detta är det största värdet och därmed den största möjliga omkretsen.