Uppgift 6

(a) Vi multiplicerar den linjära differentialekvationen $y'+\frac2xy=\frac{2e^{x^2-1}}x$ med den integrerande faktorn $e^{2\ln(x)}=x^2$ och får då
$$(x^2y)'=2xe^{x^2-1}.$$
Integrerar vi båda sidor får vi $x^2y=e^{x^2-1}+C$. Begynnelsevillkoret $y(1)=2$ ger nu att $2=1+C$, så $C=1$, varmed $y(x)=(e^{x^2-1}+1)/x^2$.

(b) Differentialekvationen är separabel. Vi skriver om den som $\frac1{y(1-y)}y'=\frac2x$ och integrerar båda sidor med hjälp av partialbråksuppdelningen
$$\frac1{y(1-y)}=\frac1y+\frac1{1-y}.$$
Vi får $\ln\lvert y/(1-y)\rvert=2\ln\lvert x\rvert+C$, vilket efter exponentiering ger $y/(1-y)=Dx^2$, där $D=\pm e^C$. Utnyttjar vi begynnelsevillkoret $y(1)=1/2$ får vi $D=1$, vilket ger $y=x^2/(1+x^2)$.