Uppgift 2

Funktionen $f(x)=x^4e^{-x}$ är definierad för alla $x$. Då

$$\lim_{x\to\infty}x^4e^{-x}=0,$$

är $y=0$ en horisontell asymptot då $x\to\infty$. När $x\to-\infty$ gäller däremot

$$\frac{f(x)}x=x^3e^{-x}\longrightarrow-\infty,$$

så någon rätlinjig asymptot saknas där.

Derivatorna är

$$f'(x)=x^3(4-x)e^{-x},\qquad f''(x)=x^2(x-2)(x-6)e^{-x}.$$

Funktionen har ett globalt minimum $f(0)=0$ och ett lokalt maximum

$$f(4)=\frac{256}{e^4}.$$

Globalt maximum saknas. Inflexionspunkterna har $x$-koordinaterna $2$ och $6$; funktionen är konvex på $(-\infty,2]$ och $[6,\infty)$ samt konkav på $[2,6]$.