Hela analys · 2023-01-18
En rätvinklig triangel med hypotenusan $a$ roteras kring en av sina kateter, så att en rak cirkulär kon bildas. Bestäm längderna på kateterna så att konen får maximal volym. (Volymen av en kon är $V=Ah/3$, där $A$ är bottenarean och $h$ höjden.)
Låt $h$ vara kateten som rotationsaxel och $r$ den andra kateten. Då
$$r^2+h^2=a^2,\qquad V=\frac{\pi r^2h}{3}=\frac{\pi}{3}(a^2-h^2)h.$$
Derivatan är
$$V'(h)=\frac{\pi}{3}(a^2-3h^2).$$
Den enda inre kritiska punkten för $0\le h\le a$ är $h=a/\sqrt3$. Eftersom $V(0)=V(a)=0$, fås största volymen där. Katetlängderna är alltså
$$h=\frac{a}{\sqrt3},\qquad r=\sqrt{\frac23},a.$$