Uppgift 4

I polära koordinater motsvaras området av

$$1\le r\le\sqrt2,\qquad0\le\theta\le\pi.$$

Därför

$$\iint_Dx^2\ln(x^2+y^2)\,dx\,dy=\int_0^\pi\cos^2\theta\,d\theta\int_1^{\sqrt2}r^3\ln(r^2)\,dr.$$

Med $u=r^2$ blir detta

$$\frac{\pi}{2}\cdot\frac12\int_1^2u\ln u\,du=\frac{\pi}{4}\left[\frac{u^2}{2}\ln u-\frac{u^2}{4}\right]_1^2$$

$$=\frac{\pi}{16}(8\ln2-3).$$