Uppgift 5

Funktionen $f(x,y)=xye^{-x-y}$ är kontinuerlig på triangeln $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le4$. Stationära punkter uppfyller

$$f_x=y(1-x)e^{-x-y}=0,\qquad f_y=x(1-y)e^{-x-y}=0.$$

Den enda inre stationära punkten är $(1,1)$, där

$$f(1,1)=e^{-2}.$$

På kanterna $x=0$ och $y=0$ är $f=0$. På den återstående kanten, med $x=t$ och $y=4-t$, är

$$f(t,4-t)=t(4-t)e^{-4},\qquad 0\le t\le4,$$

vilken får sitt största värde $4e^{-4}$ vid $t=2$. Eftersom $e^{-2}>4e^{-4}$ är största värdet

$$e^{-2}\quad\text{vid }(1,1).$$

Minimivärdet är $0$ på kanterna $x=0$ och $y=0$.