Uppgift 6

a) Efter division med $1+x^2$ fås

$$y'+\frac{x}{1+x^2}y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

En integrerande faktor är $\sqrt{1+x^2}$, och därmed

$$\left(y\sqrt{1+x^2}\right)'=x.$$

Integration och villkoret $y(0)=1$ ger

$$y\sqrt{1+x^2}=\frac{x^2}{2}+1,$$

så

$$y(x)=\frac{x^2+2}{2\sqrt{1+x^2}}.$$

b) Den homogena ekvationen har lösningen

$$y_h=Ae^{2x}+Be^{-2x}.$$

En partikulärlösning till $y''-4y=8x^2-e^x$ är

$$y_p=\frac{e^x}{3}-2x^2-1.$$

Alltså är den allmänna lösningen

$$y(x)=\frac{e^x}{3}-2x^2-1+Ae^{2x}+Be^{-2x}.$$