Hela analys · 2023-06-14
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to 0}\frac{(\ln(1+x))^2-\ln(1+x^2)}{2x-\arctan(2x)}$.
Betrakta den reella funktionen
$$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&;\ x\ne 0,\\0&;\ x=0.\end{cases}$$
Avgör utifrån derivatans definition om $f'(0)$ existerar och bestäm i så fall dess värde.
(a) Med standardutvecklingarna $\ln(1+t)=t-t^2/2+O(t^3)$, och $\arctan(t)=t-t^3/3+O(t^4)$ då $t\to0$ får vi
$$\begin{aligned}
\frac{(\ln(1+x))^2-\ln(1+x^2)}{2x-\arctan(2x)}
&=\frac{(x-x^2/2+O(x^3))^2-(x^2-x^4/2+O(x^6))}{2x-(2x-(2x)^3/3+O(x^4))}\\
&=\frac{x^2-x^3+O(x^4)-x^2+O(x^4)}{8x^3/3+O(x^4)}
=\frac{-1+O(x)}{8/3+O(x)}\to\frac{-1}{8/3}=-\frac38\quad\text{då }x\to0.
\end{aligned}$$
(b) $$f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{e^{-1/h^2}}h
=\left[\begin{array}{c}h=1/t\\t\to\pm\infty\end{array}\right]
=\lim_{t\to\pm\infty}\frac t{e^{t^2}}=0,$$
där sista gränsvärdet är $0$ eftersom exponentialfunktionen växer mycket fortare än polynom.