Uppgift 2

Funktionen $f(x)=\ln\lvert x-1\rvert-\ln\lvert x+1\rvert-x$ är definierad då $x\ne\pm1$. De möjliga vertikala asymptoterna är därmed $x=\pm1$, och eftersom vi får $\lim_{x\to-1}f(x)=\infty$ och $\lim_{x\to1}f(x)=-\infty$ är båda asymptoter. Vidare får vi $k=\lim_{x\to\pm\infty}f(x)/x=-1$ och $m=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx)=\lim_{x\to\pm\infty}\ln\left\lvert\frac{1-1/x}{1+1/x}\right\rvert=0$ så $y=kx+m=-x$ är en sned asymptot då $x\to\pm\infty$.

Vi får att $f'(x)=\frac1{x-1}-\frac1{x+1}-1=\frac{3-x^2}{(x-1)(x+1)}$ vilket ger att $f'(x)=0$ för $x=\pm\sqrt3$. Vidare blir $f''(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}+\frac1{(x+1)^2}=\frac{-4x}{(x-1)^2(x+1)^2}$ vilket ger att $f''(x)=0$ bara för $x=0$. Vi gör en teckentabell
$$\begin{array}{c|ccccccccccc} x&&-\sqrt3&&-1&&0&&1&&\sqrt3&\\\hline f'(x)&-&0&+&\text{ej def.}&-&-&-&\text{ej def.}&+&0&-\\ f(x)&\searrow&\text{lok.min}&\nearrow&\text{ej def.}&\searrow&\searrow&\searrow&\text{ej def.}&\nearrow&\text{lok.max}&\searrow\\ f''(x)&+&+&+&\text{ej def.}&+&0&-&\text{ej def.}&-&-&-\\ f(x)&\smile&\smile&\smile&\text{ej def.}&\smile&\text{infl.}&\frown&\text{ej def.}&\frown&\frown&\frown \end{array}$$
Från denna ser vi att funktionen har lokala extrempunkter i $x=\pm\sqrt3$, och en inflektionspunkt i $x=0$. Grafen är konvex på vardera av de två intervallen $(-\infty,-1)$ och $(-1,0]$, och konkav på $[0,1)$ och på $(1,\infty)$. Vi skissar grafen: