Uppgift 5

(a) Begränsningskurvorna $y=x$ och $y=2\sqrt x$ skär varandra då $x=0$ och då $x=4$, så området ges av
$$x\le y\le2\sqrt x,\qquad0\le x\le4.$$
Om vi beräknar volymen som fås då den övre kurvan roterar kring $x$-axeln med skivformeln för rotationsvolym, och subtraherar volymen som genereras av den undre kurvan, får vi att volymen $V_1$ ges av
$$V_1=\pi\int_0^4(2\sqrt x)^2\,dx-\pi\int_0^4(x)^2\,dx=\pi\int_0^4(4x-x^2)\,dx=\pi\left[2x^2-\frac{x^3}3\right]_0^4=\frac{32\pi}3.$$
(b) Med formeln för cylindriska skal (rörformiga element) får vi
$$V_2=2\pi\int_0^4x(2\sqrt x-x)\,dx=2\pi\int_0^4(2x^{3/2}-x^2)\,dx=2\pi\left[\frac{2x^{5/2}}{5/2}-\frac{x^3}3\right]_0^4=\frac{128\pi}{15}.$$