Uppgift 6

(a) Vi multiplicerar den linjära differentialekvationen $y'+2xy=x$ med den integrerande faktorn $e^{x^2}$ och får då
$$(e^{x^2}y)'=xe^{x^2}.$$
Integrerar vi båda sidor får vi $e^{x^2}y=e^{x^2}/2+C$. Begynnelsevillkoret $y(0)=1$ ger nu att $C=1/2$, varmed lösningen är $y(x)=(1+e^{-x^2})/2$.

(b) Vi börjar med att lösa den homogena ekvationen $y_h''+y_h'-2y_h=0$. Den karakteristiska ekvationen är $r^2+r-2=0$, med lösningar $r=1$ och $-2$, så $y_h=Ae^x+Be^{-2x}$, för $A,B\in\mathbb R$.

Om vi ansätter en partikulärlösning på formen $y_p=ze^x$ så blir $y_p'=(z'+z)e^x$ och $y_p''=(z''+2z'+z)e^x$ så vi får $y_p''+y_p'-2y_p=(z''+3z')e^x$ vilket skall vara lika med $e^x$, vilket betyder att $z''+3z'=1$. Ansätter vi $z'=a$ får vi att $a=1/3$, så vi kan ta $z=x/3$, så $y_p=xe^x/3$.

Den allmänna lösningen till differentialekvationen är därmed
$$y=y_p+y_h=(x/3+A)e^x+Be^{-2x}.$$