Uppgift 1

Vi börjar med att beräkna $\operatorname{SGD}(221,391)$ via Euklides algoritm:
$$ 391=221+170,\quad 221=170+51,\quad 170=3\cdot51+17,\quad 51=3\cdot17. $$
Alltså är $\operatorname{SGD}(221,391)=17$. Den ursprungliga diofantiska ekvationen är därför ekvivalent med
$$ 13x+23y=3. \tag{*} $$
Enligt satsen om diofantiska ekvationer är lösningarna, om $(x_0,y_0)$ är en partikulärlösning,
$$ x=x_0-23k,\qquad y=y_0+13k,\qquad k\in\mathbb Z. $$
Vi ser att $(x,y)=(2,-1)$ är en lösning. Samtliga lösningar ges alltså av
$$ x=2-23k,\qquad y=-1+13k,\qquad k\in\mathbb Z. $$