Uppgift 2

Vi använder ett teckenstudium. Först skriver vi om olikheten:
$$ \frac1{4x+5}<\frac1{(x+1)(x+3)} \Longleftrightarrow \frac{(x+1)(x+3)-(4x+5)}{(4x+5)(x+1)(x+3)}<0, $$
det vill säga
$$ \frac{x^2-2}{(4x+5)(x+1)(x+3)} =\frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{(4x+5)(x+1)(x+3)}<0. \tag{*} $$
Uttrycket i vänsterledet i (*) är en produkt av fem faktorer. Brytpunkterna är
$$ -3<-\sqrt2<-\frac54<-1<\sqrt2<2. $$
(Vi vet att $-\sqrt2<-\frac54$ eftersom $(\frac54)^2=\frac{25}{16}<2$.) För $x>2$ är uttrycket positivt, och tecknet alternerar när vi passerar en brytpunkt. Ingen brytpunkt löser olikheten. Därför är lösningen
$$ x\in(-\infty,-3)\cup(-\sqrt2,-\tfrac54)\cup(-1,\sqrt2). $$