Uppgift 4
Polynomet $p(z)=z^4-2z^3+9z^2-8z+20$ har $z=2i$ som en rot. Bestäm polynomets samtliga rötter i $\mathbb{C}$.
Diskret matematik · 2023-10-20
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Eftersom $p(z)$ endast har reella koefficienter medför $p(2i)=0$ att $p(-2i)=0$, enligt konjugatrotssatsen. Därför är $(z-2i)(z+2i)=z^2+4$ en faktor till $p(z)$. Polynomdivision ger
$$
z^4-2z^3+9z^2-8z+20=(z^2+4)(z^2-2z+5).
$$
Faktorn $z^2-2z+5$ har enligt pq-formeln rötterna $z=1\pm2i$. Rötterna till $p(z)$ är alltså $\pm2i$ och $1\pm2i$.