Diskret matematik · 2023-10-20

Uppgift 5

En standardkortlek består av 52 kort i fyra olika färger, med 13 valörer per färg. En pokerhand består av fem olika kort.

(a)

Bestäm antalet pokerhänder. Ditt svar får endast innehålla heltal och de fyra vanliga räknesätten.

(b)

Bestäm antalet pokerhänder som innehåller tre kort av en valör och två kort av en annan valör. Ditt svar ska ges som ett uttryckligt heltal. Till exempel är $8\clubsuit ,8\heartsuit ,8\spadesuit ,4\clubsuit ,4\diamondsuit $ en sådan hand, som består av tre kort med valören 8 och två kort med valören 4.

Visa lösningDölj lösning

(a) Detta är
$$ \binom{52}{5} $$
enligt definitionen av binomialkoefficienter. Med formeln för binomialkoefficienter får vi
$$ \binom{52}{5}=\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}. $$
(b) Det finns $13$ sätt att välja valören som ska förekomma två gånger, och för vart och ett av dessa finns $\binom42$ sätt att välja vilka färger valören ska förekomma i. Därefter finns $12$ sätt att välja valören som ska förekomma tre gånger, och för varje sådant val $\binom43$ sätt att välja färgerna. Enligt multiplikationsprincipen blir antalet
$$ 13\binom42\,12\binom43=13\cdot6\cdot12\cdot4=3744. $$