Uppgift 2
Beräkna $\sum_{k=2}^{21}(3\cdot4^k+3^k)$. Svaret får innehålla en hög potens utan att denna beräknas uttryckligen.
Diskret matematik · 2023-11-22
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
Summan har $20$ termer och kan delas upp enligt
$$
\sum_{k=2}^{21}(3\cdot4^k+3k)
=\sum_{k=2}^{21}3\cdot4^k+\sum_{k=2}^{21}3k.
$$
Den geometriska summan blir
$$
\sum_{k=2}^{21}3\cdot4^k
=3\cdot4^2\left(\frac{4^{20}-1}{4-1}\right)
=4^2(4^{20}-1),
$$
och den aritmetiska summan blir
$$
\sum_{k=2}^{21}3k
=\left(\frac{3\cdot2+3\cdot21}{2}\right)\cdot20
=3\cdot23\cdot10=690.
$$
Alltså är den ursprungliga summan
$$
4^2(4^{20}-1)+690=4^{22}+674.
$$
Svar: $4^{22}+674$.