Uppgift 3
Ett polynom $p(z)$ med komplexa koefficienter ger resten 7 vid division med $(z-2)$ och resten $i$ vid division med $(z-i)$. Bestäm resten vid divisionen av $p(z)$ med $(z-2)(z-i)$.
Diskret matematik · 2023-11-22
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Enligt restsatsen är $p(2)=7$ och $p(i)=i$. Om resten vid divisionen är $az+b$, där $a,b\in\mathbb C$, gäller
$$
p(z)=(z-2)(z-i)q(z)+(az+b).
$$
Därför
$$
7=p(2)=2a+b,\qquad i=p(i)=ai+b.
$$
Detta ger $a(2-i)=7-i$, alltså
$$
a=\frac{7-i}{2-i}=3+i.
$$
Därmed är $b=7-2a=1-2i$. Svar: resten är
$$
(3+i)z+(1-2i).
$$