Uppgift 2
Finn alla reella lösningar till ekvationen \[
|x - 3| + |(x - 3)\cdot(x + 4)| = x^2 - 9.
\]
Diskret matematik · 2024-03-07
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
Vi ser att uttrycken inom absolutbeloppen byter tecken vid $x=3$ eller $x=-4$. Dessa brytpunkter delar upp reella talaxeln i tre intervall, och vi har tre fall att undersöka:
Fall $x< - 4$: Ekvationen blir \[ -(x-3) + (x-3)(x+4) = x^2-9 \iff (x-3)(x+4)-(x-3)-(x^2-9) =0. \] Vänsterledet förenklas till 0, så vi får något som är sant för alla $x<-4$.
Fall $-4 \leq x <3$: Ekvationen blir \[ -(x-3) - (x-3)(x+4) = x^2-9 \iff -(x-3)(x+4)-(x-3)-(x^2-9) =0. \] Efter förenkling får vi andragradsekvationen $x^2+x-12=0$ som har $x=-4$ samt $x=3$ som lösningar. Bara $x=-4$ ligger i intervallet.
Fall $x\geq 3$: Ekvationen blir \[ (x-3) + (x-3)(x+4) = x^2-9 \iff (x-3)(x+4)+(x-3)-(x^2-9) =0. \] Detta förenklas till $2x-6=0$ som löses av $x=3$, som ligger i intervallet.
Sammanfattningsvis har ekvationen lösningarna $x \leq -4$ samt $x=3$.
Fall $x< - 4$: Ekvationen blir \[ -(x-3) + (x-3)(x+4) = x^2-9 \iff (x-3)(x+4)-(x-3)-(x^2-9) =0. \] Vänsterledet förenklas till 0, så vi får något som är sant för alla $x<-4$.
Fall $-4 \leq x <3$: Ekvationen blir \[ -(x-3) - (x-3)(x+4) = x^2-9 \iff -(x-3)(x+4)-(x-3)-(x^2-9) =0. \] Efter förenkling får vi andragradsekvationen $x^2+x-12=0$ som har $x=-4$ samt $x=3$ som lösningar. Bara $x=-4$ ligger i intervallet.
Fall $x\geq 3$: Ekvationen blir \[ (x-3) + (x-3)(x+4) = x^2-9 \iff (x-3)(x+4)+(x-3)-(x^2-9) =0. \] Detta förenklas till $2x-6=0$ som löses av $x=3$, som ligger i intervallet.
Sammanfattningsvis har ekvationen lösningarna $x \leq -4$ samt $x=3$.