Uppgift 3

Rationella rotsatsen ger att vi måste testa delarna till $16$. Vi får att $z=-2$ är en rot, så är $z+2$ en faktor. Polyomdivision med $z+2$ ger sedan att \[ z^4+2 z^3+8 z+16 = (z+2)(z^3+8). \] Rötterna till $z^3 = -8$. Talet $-8$ har absolutbelopp $2^3$ samt argument $\pi$. Detta ger att rötterna som sökes blir \[ z_1 = 2e^{i \frac{\pi}{3}}, \quad z_2 = 2e^{i \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}i } , \quad z_3 = 2e^{i \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}i }, \] tillsammans med $z = -2$.