Diskret matematik · 2024-03-07

Uppgift 4

Uppgift 4

Låt $A = \{1,2,3,4,5\}$, $B=\{3,4,5,6,7\}$ och $C = \{6,7,8,9\}$. Svara på följande frågor.

(a)

Bestäm $(A \setminus B) \cup C$.

(b)

På hur många sätt kan man välja $a$, $b$ och $c$ så att $a \in A$, $b \in B$ och $c \in C$?

(c)

På hur många sätt kan man tillverka en lista, $(a,b,c)$ så att $a \in A$, $b \in B$, $c \in C$, men med villkoret att inga av talen i listan är lika?

Visa lösningDölj lösning

Detta är $\{1,2\} \cup \{6,7,8,9\} = \{1,2,6,7,8,9\}$.
Valen sker oberoende. Vi kan välja $a$ på $5$ sätt, $b$ på 5 sätt och $c$ på 4 sätt. Totalt $5\cdot 5\cdot 4=100$ sätt.
Alla tre tal kan inte vara lika, då $A \cap C = \emptyset$. Vi måste alltså ta bort listor på formen $(a,a,c)$ samt $(a,b,b)$ från svaret i (b), och dessa fall överlappar inte. Listor där de två första talen är lika är 12 till antalet, då \[ |A \cap B|\cdot |C| = 3 \cdot 4 = 12. \] På samma sätt, antalet listor där de två sista talen är lika ges av \[ |A|\cdot |B \cap C| = 5 \cdot 2 = 10. \] Det finns alltså $100-12-10 = 78$ sådana listor där alla tre tal är olika.