Diskret matematik · 2024-04-17

Uppgift 1

Uppgift 1

(a)

Skriv ned tre olika tal som ingår i mängden $ \left\{ x \in \setN : \left(\exists y \in \setN : x= y^2 \right) \right\}. $

(b)

Bestäm vilken rest som fås då $5^{31}$ delas med $26$.

(c)

Formulera rationella rotsatsen och lista alla rationella tal som enligt satsen skulle kunna vara rötter till polynomet $15 x^6-100x^4+2$.

Visa lösningDölj lösning

Mängden består av alla naturliga tal på formen $y^2$, så $\{1,4,9\}$ är tre sådana tal.
$5^{31} = 5\cdot 5^{30} = 5\cdot 25^{15}$ och eftersom $25 \equiv_{26} -1$, får vi $5 \cdot (-1)^{15} =-5$, som är kongruent med $21$ modulo $26$. Alltså är resten $21$.
En rationell rot $\frac{a}{b}$ till ett polynom med heltalskoefficienter, med ledande koefficient $c_n$ och konstantterm $c_0$ uppfyller att $a \mid c_0$ samt $b \mid c_n$. Vi söker då $a$ och $b$ så att $a \mid 2$ och $b \mid 15$. Detta leder till att de rationella rötterna $\frac{a}{b}$ (om sådana finns) är bland talen \[ \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{15}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{5}, \pm \frac{2}{15}. \]