Uppgift 4
(a)
Kvadratkomplettera uttrycket $z^2-(6+4 i) z+ (5 + 10 i)$.
(b)
Lös ekvationen $z^2-(6+4 i) z+ (5+10i)=0$, för $z \in \setC$.
Diskret matematik · 2024-04-17
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
- Uttrycket kvadratkompletteras till \[\begin{aligned} \bigl(z - (3+2i) \bigr)^2 - \bigl(3+2i \bigr)^2 + (5+10i) &= \bigl(z - (3+2i) \bigr)^2 - (5+12i) + (5+10i) \\ &= \bigl(z - (3+2i) \bigr)^2 - 2i. \end{aligned}\]
- Vi kan enligt del (a) skriva om ekvationen som \[
\bigl(z - (3+2i) \bigr)^2 = 2i \iff w^2 = 2i
\] där $w = z - (3+2i)$.
Vi kan lösa $w^2 = 2i$ via polär form eller via direkt beräkning i rektangulär form. I polär form: \[ w^2 = 2i \iff w^2 = 2 e^{\pi i/2} \iff w = \sqrt{2} e^{i \left(\tfrac{\pi}{4} + k\pi\right)} \text{ för $k \in \{ 0, 1 \}$} \iff w = \pm(1+i), \] eftersom $e^{\pi i/4} = \cos(\pi/4) + i \sin(\pi/4) = \tfrac{1}{\sqrt{2}} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}i$.
I rektangulär form: om vi skriver $w=a+ib$ så är $w^2 = (a^2 - b^2) + 2abi$, så $w^2 = 2i$ gäller om och endast om $a^2-b^2=0$, $ab=1$, samt $a^2+b^2=2$ (genom att titta på absolutbelopp). Detta är ekvivalent med att $a^2=1$ och $a=b$, så $a=b=\pm 1$. Alltså, $w = \pm (1+i)$.
Alltså gäller ekvationen om och endast om \[ z= (3+2i)\pm (1+i), \] så lösningarna är $z = 4+3i$ och $z = 2+i$.