Diskret matematik · 2024-04-17

Uppgift 5

Olof Sisask Följder och serier Beräkning

Uppgift 5

(a)

Bestäm ett uttryck för summan $k + 2k + 3k + \dotsb + mk$, där $m$ och $k$ är positiva heltal.

(b)

Bestäm summan av alla tal i tabellen nedan: \[ \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & 20 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & \dots & 40 \\ 3 & 6 & 9 & 12 &\dots & 60 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 20 & 40 & 60 & 80 & \dots & 400. \end{array} \] Varje rad och kolonn i tabellen utgör en aritmetisk talföljd.

Visa lösningDölj lösning

Enligt satsen om summan av en aritmetisk talföljd är summan \[ k(1+2+3+\dotsb+m) = k\cdot \frac{m(m+1)}{2}.\]
Rad nummer $k$ i tabellen har summan $k(1+2+3+\dotsb+20) = k \cdot 210$. Om vi summerar detta från rad $k=1$ till rad $k=20$ får vi \[ 1\cdot 210 + 2\cdot 210 + \dotsb + 20\cdot 210 = 210(1+2+3+\dotsb + 20) = 210^2 = 44100. \]