Diskret matematik · 2024-04-17

Uppgift 6

I denna fråga ska samtliga svar anges som heltal eller produkter av heltal. Inget svar är större än 1500. Alla svar ska motiveras. Vi har sju personer. Tre av dessa ska få en rolig hatt. Fyra av dessa ska få en rolig halsduk. Samma person kan få både hatt och halsduk och det är ingen skillnad på hattarna, och ingen skillnad på halsdukarna.

(a)

På hur många sätt kan de tre personerna med rolig hatt utses?

(b)

På hur många sätt kan både hattar och halsdukar fördelas?

(c)

Om exakt två personer ska få både hatt och halsduk när accessoarerna fördelas, på hur många sätt kan då alla hattar och halsdukar fördelas?

Visa lösningDölj lösning

Bland de 7 ska tre hatt-personer väljas: $\binom{7}{3} = \frac{7\cdot 6 \cdot 5}{3!} = 35$ sätt.
Vi delar ut halsdukarna oberoende av hatt-utdelningen, så multiplikationsprincipen ger $\binom{7}{3} \binom{7}{4} = 35^2 = 1225$ antal sätt.
Vi väljer först 2 personer som får båda accessoarerna: $\binom{7}{2} = 21$ sätt. Bland de $5$ som är kvar, ska en till få hatt, vilket går på $\binom{5}{1} = 5$ sätt. Slutligen ska två av de $4$ kvarvarande personerna få halsdukar, och det finns $\binom{4}{2}=6$ val för dessa. Eftersom antalet val vid varje steg är oberoende av valen dessförinnan, så finns det enligt multiplikationsprincipen totalt $21\cdot 5\cdot 6 = 630$ olika sätt.