Diskret matematik · 2024-10-25

Uppgift 1

Uppgift 1

(a)

Ge exempel på tre olika primtal $p_1,p_2,p_3$ så att $p_1+p_2+p_3$ också är ett primtal.

(b)

Bestäm $\big(\{1,2,3,7,8\} \cap \{2,3,4,9\}\big)\cup \{ 2,10,11\}$.

(c)

Låt $z=1+i \in \setC$ och beräkna summan $ \displaystyle \sum_{k=0}^{16} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right)^k. $

Visa lösningDölj lösning

Man kan ta till exempel $3+5+11 = 19$.
Det blir $\{2,3,10,11\}$.
Formeln för geometrisk summa ger oss att summan är $\frac{(z/\sqrt{2})^{17}-1}{z/\sqrt{2}-1}$. Om $z=1+i$ så är $z/\sqrt{2} = e^{i\pi/4}$. Alltså är summan \[ \frac{ (e^{i\pi/4})^{17} - 1 }{e^{i\pi/4} - 1} = \frac{e^{i\pi/4}(e^{i\pi/4})^{16} - 1}{e^{i\pi/4} - 1}. \] Eftersom $(e^{i\pi/4})^{16} = 1$, så är täljare och nämnare lika, så summans värde är $1$.