Uppgift 2
Ekvationen $8 x^5-12 x^4+6 x^3-9 x^2-2 x+3=0$ har den komplexa roten $x=i$. Finn övriga rötter.
Diskret matematik · 2024-10-25
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
Om $x = i$ är en rot, så är även dess komplexkonjugat $x = -i$ en rot (eftersom koefficienterna i polynomet är reella). Därmed har vi rötterna $x = i$ och $x = -i$.
Nu dividerar vi polynomet med $(x - i)(x + i) = x^2 + 1$. Polynomdivisionen ger att \[ 8x^5 - 12x^4 + 6x^3 - 9x^2 - 2x + 3 = (x^2 + 1)(8x^3 - 12x^2 - 2x + 3). \]
Vi löser nu ekvationen $8x^3 - 12x^2 - 2x + 3 = 0$. Vi testar rationella rötter och finner att $x = \frac{1}{2}$ är en rot. Genom polynomdivision får vi att de resterande lösningarna är $x = \frac{3}{2}$ och $x = -\frac{1}{2}$. Sammanfattningsvis har vi följande lösningar: \[ x_1 = i, \quad x_2 = -i, \quad x_3 = \frac{1}{2}, \quad x = \frac{3}{2}, \quad x_4 = -\frac{1}{2}. \]
Nu dividerar vi polynomet med $(x - i)(x + i) = x^2 + 1$. Polynomdivisionen ger att \[ 8x^5 - 12x^4 + 6x^3 - 9x^2 - 2x + 3 = (x^2 + 1)(8x^3 - 12x^2 - 2x + 3). \]
Vi löser nu ekvationen $8x^3 - 12x^2 - 2x + 3 = 0$. Vi testar rationella rötter och finner att $x = \frac{1}{2}$ är en rot. Genom polynomdivision får vi att de resterande lösningarna är $x = \frac{3}{2}$ och $x = -\frac{1}{2}$. Sammanfattningsvis har vi följande lösningar: \[ x_1 = i, \quad x_2 = -i, \quad x_3 = \frac{1}{2}, \quad x = \frac{3}{2}, \quad x_4 = -\frac{1}{2}. \]