Diskret matematik · 2024-10-25

Uppgift 5

Per Alexandersson Kombinatorik Beräkning

Uppgift 5

I spelet BrawlStars™ finns de åtta spelarkaraktärerna nedan: \[ \mathtt{Leon},\; \mathtt{Draco},\; \mathtt{Crow},\; \mathtt{Spike},\; \mathtt{Kit},\; \mathtt{Kenji},\; \mathtt{Chester},\; \mathtt{Surge}. \] En match består av två lag (hemma och borta) med tre karaktärer i varje lag. Samma karaktär kan inte förekomma mer än en gång per lag, men samma karaktär får förekomma i båda lagen. \[ \textit{Exempel:}\qquad \text{\textbf{Hemma:} Leon, Draco, Crow} \qquad \text{\textbf{Borta:} Leon, Spike, Kit}. \]

(a)

På hur många sätt kan man skapa ett hemmalag från karaktärerna ovan?

(b)

På hur många sätt kan de två lagen konstrueras om hemmalaget har Spike, och bortalaget har Leon?

(c)

På hur många sätt kan man konstruera ett hemmalag och ett bortalag, så att Leon inte möter Spike?

Svaren ska anges där eventuella binomialkoefficienter har beräknats, men produkter, skillnader och summor får lämnas utan att förenklas.

Visa lösningDölj lösning

Eftersom vi har 8 karaktärer att välja bland, har vi \[ \binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7 \cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1} = 56 \] olika sådana lag.
Hemmalaget har Spike, så två till karaktärer ska väljas. Detta kan göras på $\binom{7}{2} = 21$ sätt. Liknande resonemang gäller för bortalaget, så svaret är $21^2$ enligt multiplikationsprincipen.
Vi beräknar det totala antalet möjliga matchkonfigurationer utan villkoren. Att utse de två lagen kan göras på $56^2$ sätt enligt (a).

Nästa steg är att beräkna antalet konfigurationer där Leon möter Spike (dvs. Leon är i ett lag och Spike är i det andra). Det finns tre fall:

Fall 1: Leon i hemmalaget, Spike i bortalaget. Detta kan göras på $21^2$ sätt.

Fall 2: Leon i bortalaget, Spike i hemmalaget. Som tidigare, göras detta ske på $21^2$ sätt.

Fall 3: Båda lag har både Spike och Leon. Varje lag behöver välja var sin karaktär till bland de 6 som finns kvar: $6^2$ sätt.

Notera att Fall 3 förekommer både som specialfall för Fall 1 och Fall 2, så Fall 3 dubbelräknas om vi subtraherar Fall 1 och Fall 2.

Enligt inklusion-exklusionsprincipen får vi då totalt $56^2 - 2\cdot 21^2 + 6^2 = 2290$.