Uppgift 2
Formulera binomialsatsen. Bestäm därefter koefficienten för $z^{9}$ i polynomet $\left(\frac{1}{16} + (1+i\sqrt{3})z \right)^{12}$.
Diskret matematik · 2024-11-20
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
Binomialsatsen säger att $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$.
Enligt binomialsatsen har vi att \[ \left(\frac{1}{16} + (1+i\sqrt{3})z \right)^{12} = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} 16^{-(12-k)} (1+i\sqrt{3})^k z^k, \] och vi söker koefficienten som motsvarar $k=9$. Genom att skriva om $1+i\sqrt{3}$ på polär form, får vi att koefficienten som sökes är \[ \binom{12}{9} 16^{-3} \left( 2 \cdot e^{\pi i / 3}\right)^9 = \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1} \cdot \frac{2^9}{2^{12}} \cdot e^{3 \pi i} = -\frac{55}{2}. \]
Enligt binomialsatsen har vi att \[ \left(\frac{1}{16} + (1+i\sqrt{3})z \right)^{12} = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} 16^{-(12-k)} (1+i\sqrt{3})^k z^k, \] och vi söker koefficienten som motsvarar $k=9$. Genom att skriva om $1+i\sqrt{3}$ på polär form, får vi att koefficienten som sökes är \[ \binom{12}{9} 16^{-3} \left( 2 \cdot e^{\pi i / 3}\right)^9 = \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1} \cdot \frac{2^9}{2^{12}} \cdot e^{3 \pi i} = -\frac{55}{2}. \]