Uppgift 3

Vi kvadratkompletterar: \[\begin{aligned} \left( x+2-3i \right)^2 &= (5+10i) + (2-3i)^2 \\ &= -2i. \end{aligned}\] Vi söker nu $a+bi$ så att $(a+bi)^2 = -2i$. Utvecklar vi kvadraten och jämför absolutbelopp, real- och imaginärdel, får vi \[ a^2+b^2=2,\quad a^2-b^2=0, \quad \text{samt} \quad 2ab = -2. \] De två första ekvationerna ger $a = \pm 1$, och med andra ekvationen får vi de två lösningarna \[ a+bi = -1+i, \qquad a+bi = 1-i. \] Eftersom $x + 2-3i = a+bi$, får vi att lösningarna är $x_1 = -1+2i$, $x_2 = -3+4i$.