Uppgift 4
Bestäm alla $x\in\setR$ som löser ekvationen $|x(x-1)| = 2|(x-1)(x+2)|$.
Diskret matematik · 2024-11-20
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Vi ser att uttrycken inom absolutbeloppen byter tecken vid $x\in \{-2,0,1\}$. Detta delar upp den reella talaxeln i fyra fall:
Fall 1: $x<-2$. Ekvationen blir \[ x(x-1) = 2(x-1)(x+2) \iff (x-1)(2x+4-x) = 0 \iff x \in \{1, -4\}. \] Bara roten $x_1 = -4$ ligger inom intervallet.
Fall 2: $-2 \leq x<0$. Ekvationen blir \[ x(x-1) = -2(x-1)(x+2) \iff (x-1)(2x+4+x) = 0 \iff x \in \{1, -\tfrac43 \}. \] Bara roten $x_1 = -\frac43$ är inom intervallet.
Fall 3: $0\leq x < 1$. Detta ger samma ekvation (och rötter) som i Fall 2, och vi får inga rötter inom intervallet.
Fall 4: $x\geq 1$. Vi får samma ekvation som i Fall 1, men denna gång ligger $x_3=1$ inom intervallet.
Lösningarna är $x = -4$, $x = -\frac{4}{3}$ samt $x = 1$.
Fall 1: $x<-2$. Ekvationen blir \[ x(x-1) = 2(x-1)(x+2) \iff (x-1)(2x+4-x) = 0 \iff x \in \{1, -4\}. \] Bara roten $x_1 = -4$ ligger inom intervallet.
Fall 2: $-2 \leq x<0$. Ekvationen blir \[ x(x-1) = -2(x-1)(x+2) \iff (x-1)(2x+4+x) = 0 \iff x \in \{1, -\tfrac43 \}. \] Bara roten $x_1 = -\frac43$ är inom intervallet.
Fall 3: $0\leq x < 1$. Detta ger samma ekvation (och rötter) som i Fall 2, och vi får inga rötter inom intervallet.
Fall 4: $x\geq 1$. Vi får samma ekvation som i Fall 1, men denna gång ligger $x_3=1$ inom intervallet.
Lösningarna är $x = -4$, $x = -\frac{4}{3}$ samt $x = 1$.