Diskret matematik · 2024-11-20

Uppgift 5

Per Alexandersson Kombinatorik Beräkning

Uppgift 5

Kjell Andersson, Kjell Bertilsson, Kjell Carlsson, Kjell Davidsson och Kjell Eriksson har gått ned i källaren för att kjell-sortera. På hur många sätt kan de 5 stå i kö,

(a)

utan några extra villkor?

(b)

så att Carlsson står någonstans mellan Andersson och Eriksson (men inte nödvändigtvis direkt intill någon av dessa)?

(c)

så att Andersson inte är först och Bertilsson inte står direkt bakom Andersson?

Alla svar ska anges som heltal.

Visa lösningDölj lösning

De är 5 personer, så det finns $5!=120$ olika köer.
Placera först Bertilsson: $5$ olika alternativ. Därefter Davidsson: $4$ alternativ. På de tre tomma platserna, sätt Carlsson i mitten. Därefter, har vi två val för placeringen av Andersson och Eriksson. Totalt: $5\cdot 4\cdot 2 = 40$.
Med Andersson först, finns det $4!=24$ köer, och med Bertilsson efter Andersson finns det också $4!$ köer (sätt in Bertilsson direkt efter Andersson). Med både Andersson först och Bertilsson därefter, finns det $3!=6$ arrangemang. Inklusion-exklusion ger då $120-2\cdot 24 + 6 = 78$ olika köer.

Alternativt kan man dela upp i två fall: Andersson på plats $5$, eller Andersson på plats $2,3$ eller $4$. Med Andersson på plats 5, så kan övriga stå på $4!=24$ sätt. Om Andersson är på plats $2,3$ eller $4$, så har Börjesson bara 3 platser att välja bland. De övriga $3$ kan placeras på $3!$ sätt. Fall 2 ger därför $3\cdot 3 \cdot 3! = 54$, så med första fallet får vi totalt får vi $78$.