Diskret matematik · 2025-03-12

Uppgift 1

Uppgift 1

(a)

Kurt-Erik sparar pengar under 80 dagar. På dag $k$ så lägger han $k$ kronor i en burk, för $k=1,2,3,\dotsc,80$. Hur många kronor finns i burken den sista dagen?

(b)

Exakt ett av talen $3$, $5$ och $7$ är en lösning till polynomekvationen $x^{10} -17x^9 + \dotsb -175x + 98=0$. Alla koefficienter är heltal. Bestäm vilket av talen som är lösningen. Motivera ditt svar.

(c)

Bestäm koefficienten för $x^8$ i uttrycket $\left(2x^2 + \frac{1}{x} \right)^{10}$. Svaret ska anges som en produkt av heltal.

Visa lösningDölj lösning

Detta är den aritmetiska summan $1+2+3+\dotsb+80$, som blir $81\cdot 40 = 3240$.
Sats från kursen säger att en heltalslösning $x$ till en polynomekvation med heltalskoefficienter, uppfyller att den delar konstanttermen. Det vill säga, $x$ måste dela $98$. Enbart talet $7$ är en delare till $98$, så $x=7$ är lösningen.
Binomialsatsen ger att \[ \left(2x^2 + \frac{1}{x} \right)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (2x^2)^k \cdot x^{-(10-k)} = \sum_{k=0}^{10} 2^k \binom{10}{k} x^{3k-10}. \] Vi söker den term som motsvarar $k=6$, så svaret är $2^6 \binom{10}{6} = 64 \cdot\frac{10\cdot 9\cdot 8 \cdot 7}{24} = 64 \cdot 30 \cdot 7$.