Uppgift 3
Lös olikheten $ 3|x-2| + 3x \geq 2|x+5|$, för $x \in \setR$.
Diskret matematik · 2025-03-12
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Vi delar upp i tre fall, som bestäms av absolutbeloppen.
Fall 1: $x<-5$: Olikheten blir \[ 3(2-x) + 3x \geq -2(x+5) \iff 6-3x + 3x +2x+10 \geq 0 \iff x \geq -8. \] Så i detta fall får vi lösningarna $-8 \leq x < -5$.
Fall 2: $-5 \leq x < 2$: Olikheten blir \[ 3(2-x) + 3x \geq 2(x+5) \iff 6-3x + 3x -2x - 10 \geq 0 \iff -2 \geq x. \] Så i detta fall får vi lösningarna $-5 \leq x \leq -2$.
Fall 3: $x \geq 2$: Här får vi \[ 3(x-2) + 3x \geq 2(x+5) \iff 3x-6 + 3x - 2x - 10 \geq 0 \iff 4x \geq 16. \] Detta ger lösningarna $x \geq 4$.
Sammanfattningsvis, så löses då olikheten av alla $x$ som uppfyller antingen $-8 \leq x \leq -2$ eller $x \geq 4$.
Fall 1: $x<-5$: Olikheten blir \[ 3(2-x) + 3x \geq -2(x+5) \iff 6-3x + 3x +2x+10 \geq 0 \iff x \geq -8. \] Så i detta fall får vi lösningarna $-8 \leq x < -5$.
Fall 2: $-5 \leq x < 2$: Olikheten blir \[ 3(2-x) + 3x \geq 2(x+5) \iff 6-3x + 3x -2x - 10 \geq 0 \iff -2 \geq x. \] Så i detta fall får vi lösningarna $-5 \leq x \leq -2$.
Fall 3: $x \geq 2$: Här får vi \[ 3(x-2) + 3x \geq 2(x+5) \iff 3x-6 + 3x - 2x - 10 \geq 0 \iff 4x \geq 16. \] Detta ger lösningarna $x \geq 4$.
Sammanfattningsvis, så löses då olikheten av alla $x$ som uppfyller antingen $-8 \leq x \leq -2$ eller $x \geq 4$.