Diskret matematik · 2025-03-12

Uppgift 4

Betrakta de två Diofantiska ekvationerna $5x+14y=19$ och $13x-12z=-11$.

(a)

Ge den allmänna lösningen till var och en av ekvationerna.

(b)

Beskriv de $x$ som ingår i en lösning i båda ekvationerna. Med andra ord, beskriv $ \{ x \in \setZ : \exists y,z \in \setZ \text{ så att } 5x+14y=19 \text{ och } 13x-12z=-11 \}. $

Visa lösningDölj lösning

De allmänna lösningarna är \[ \begin{cases} x &= 1 + 14n \\ y &= 1 -5n, \end{cases} n \in \setZ \qquad \text{ och } \qquad \begin{cases} x &= -11 + 12m \\ y &= -11 + 13m, \end{cases} m \in \setZ, \] respektive. De tal $x$ som dyker upp i båda lösningarna måste då vara de som kan uttryckas som $x = 1+14n = -11+12m$. Detta ger att vi vill lösa $12m-14n=12$, som ger $6m-7n=6$. Här ser vi att allmänna lösningen (för $m$) blir $m=1+7t$, för $t \in \setZ$. Detta leder till att $x=-11+12m = -11+12(1+7t) = 1 + 84t$. Alltså är alla $x$ på formen $1 + 84t$, där $t$ är ett heltal, de $x$ som sökes.