Diskret matematik · 2025-03-12

Uppgift 5

Per Alexandersson Kombinatorik Beräkning

Uppgift 5

Damerna Agda, Berit, Gerd och Ester ska ha knytkalas. De har bestämt sig för att förbereda följande fyra huvudrätter: Aladåb, böcklinglåda, potatis samt köttfärslimpa. De ska såklart ha något till kaffet också. De två klassikerna citronfromage och flamberade bananer ska serveras till efterrätt.

(a)

På hur många sätt kan rätterna fördelas så att varje person lagar exakt en huvudrätt och som mest en efterrätt? Notera att varje rätt ska förekomma exakt en gång på kalaset.

(b)

Gerd har gikt så hon orkar bara laga en efterrätt om hon till huvudrätt kokar potatisar. På hur många sätt¹ kan man fördela uppgifterna så att Gerd orkar med?

(c)

Vid förra kalaset så råkade Ester flambera sin pudel, så hon får inte laga flamberade bananer denna gång. På hur många sätt kan nu rätterna fördelas, så att både Gerd och Esters (nya) pudel inte riskerar sin hälsa?

Svaren ska anges med heltal. Inget av svaren överstiger $300$.

Tips: Dela upp i två fall beroende på om Gerd gör en efterrätt eller inte. ↩

Visa lösningDölj lösning

Huvudrätterna kan fördelas på $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4! = 24$ sätt. På liknande sätt, efterrätterna kan fördelas på $4\cdot 3 = 12$ sätt. Totalt antal sätt är då $24\cdot 12 = 288$.
Det finns två fall: Gerd gör en efterrätt, eller så gör Gerd inte en efterrätt.

Om Gerd gör efterrätt, så har hon två val bland dessa, och hon måste då koka potatis. De tre återstående damerna måste då fördela 3 huvurätter och den efterrätt Gerd inte gör: $2\cdot 3! \cdot 3 = 36$ sätt.

Om Gerd inte gör efterrätt, så kan huvudrätterna fördelas fritt: $4!$ sätt. De två efterrätterna ska nu fördelas bland de 3 damerna som inte är Gerd: $3\cdot 2$ sätt. Totalt: $24\cdot 6 = 144$ sätt.

Adderar vi de två fallen får vi då $180$ sätt.

(Alternativt kan man dela upp i de två fallen: Gerd kokar potatis eller inte).
Det är enklare att räkna de förbjudna fallen. Vi gör samma sak som i (b), men vi bestämmer att Ester gör flamberade bananer. Vi får återigen två fall, beroende på vad Gerd gör.

Om Gerd gör efterrätt, så gör hon cintronfromage och hon kokar potatis. De tre återstående damerna måste då fördela sina 3 huvurätter. Detta leder till $3! = 6$ sätt.

Om Gerd inte gör efterrätt, så kan huvudrätterna fördelas fritt: $4!$ sätt. Citronfromagen ska nu lagas av Agda eller Berit: $2$ alternativ. Totalt: $24\cdot 2 = 48$ sätt.

Adderar vi de två fallen, ser vi att Ester flamberar bananer i $54$ av fallen.

Det antal vi söker är då $180-54=126$.