Diskret matematik · 2025-05-07

Uppgift 1

Uppgift 1

(a)

Ge exempel på ett tal som tillhör mängden $\{ x \in \setR : x^2 < x \} \cap \left( \setR \setminus \setQ \right)$.

(b)

Bestäm ett andragradspolynom med reella koefficienter och som har $z = \sqrt{2}-2i$ som ett nollställe.

(c)

Polynomet $P(x) = \sum_{k=0}^{30} 2^k x^{30-k}$ delas med $x-1$. Vad blir resten?

Visa lösningDölj lösning

Första mängden är alla tal mellan $0$ och $1$. Andra mängden är icke-rationella reella tal. Vi vet från kursen att $\sqrt{2}$ inte är rationellt. Vi kan då ta talet $\sqrt{2}/2$ då detta ligger mellan $0$ och $1$ och är ej rationellt. Andra exempel man kan ta är $\pi/4$ och $1/e$.
Vi kan ta $ \left(z-(\sqrt{2}-2i)\right)\left(z-(\sqrt{2}+2i)\right) = z^2 - 2\sqrt{2} + 6. $
Polynomet $P(x)$ är en geometrisk summa, och kan skrivas som \[ P(x) = \sum_{k=0}^{30} x^{30} \left(\frac{2}{x}\right)^k = x^{30} \frac{1-(2/x)^{31}}{1-2/x} = \frac{x^{31}-2^{31}}{x-2}. \] Eftersom $x-1$ har grad 1, är resten en konstant, $a$. Om vi skriver $P(x) = K(x)(x-1) + a$ så gäller det att $P(1)=a$. Formeln ovan ger att \[ a = P(1) = \frac{1-2^{31}}{(1-2)} = 2^{31}-1. \]