Diskret matematik · 2025-05-07

Uppgift 2

Uppgift 2

Chad behöver ägg för att göra årets matlådor. Lokala äggbonden säljer paket med $12$ ägg i varje. Chad vill ha exakt $5$ ägg per matlåda eftersom han går till gymmet varje dag. Han har redan $2$ ägg hemma. Hur många paket ägg ska Chad köpa för att få så många matlådor som möjligt, men antalet matlådor ska inte överstiga $365$? Chad vill inte ha några ägg över efter storkoket. Tips: Modellera problemet som en Diofantisk ekvation.

Visa lösningDölj lösning

Vi vill lösa den diofantiska ekvationen $2+12p = 5m$, där $p$ är antalet paket som Chad vill köpa och $m$ är antalet matlådor. Omskrivning ger oss \[ 12p-5m = -2, \] och vi ser att $p=-1$, $m=-2$ är en lösning. Eftersom $\SGD(12,5)=1$, så är då den allmänna lösningen \[ \begin{cases} p = -1 + 5k \\ m = -2 + 12k \end{cases} \qquad k \in \setZ. \] Slutligen vill vi välja $k$ så stort som möjligt, men med villkoret $-2+12k \leq 365$. Detta ger $k \leq 365/12$ så $k \leq 30$. Detta ger oss $p=149$ och Chad får $m=358$ matlådor.