Uppgift 3
Låt $P(z) = (z-11)(z+9)$ och $Q(z)=z^3 + z^2 + 9 z$. Lös ekvationen $Q(z)=11$ för $z \in \setC$. Finn därefter alla lösningar till polynomekvationen $P(Q(z)) = 0$.
Diskret matematik · 2025-05-07
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Ekvationen $Q(z)=11$ leder till \[
z^3 + z^2 + 9 z - 11 =0.
\] Rationella rotsatsen säger att rationella rötterna kan vara $\pm 1$ och $\pm 11$. Testar vi $z=1$, har vi en lösning så $(z-1)$ är en faktor. Polynomdivision ger oss \[
z^3 + z^2 + 9 z - 11 = (z-1)(z^2+2z+11).
\] Den sista faktorn har nollställena $z = -1 \pm \sqrt{-10}$, så totalt har vi rötterna \[
z_1 = 1, \quad z_2 = -1 + i \sqrt{10}, \quad z_3 = -1 - i \sqrt{10}.
\]
För att lösa $P(Q(z)) = 0$ måste vi lösa $(Q(z)-11)(Q(z)+9)=0$. Den första faktorn är noll då $Q(z)=11$, vilket vi redan löst. Vi vill nu lösa \[ z^3 + z^2 + 9 z + 9 = 0. \] Rationella rotsatsen igen leder till att $z = -1$ är en rot. Polynomdivision, \[ z^3 + z^2 + 9 z + 9 = (z+1)(z^2 + 9) \] så vi har de tre ytterligare rötterna $z_4 =-1$, $z_5 = 3i$, $z_6 = -3i$.
För att lösa $P(Q(z)) = 0$ måste vi lösa $(Q(z)-11)(Q(z)+9)=0$. Den första faktorn är noll då $Q(z)=11$, vilket vi redan löst. Vi vill nu lösa \[ z^3 + z^2 + 9 z + 9 = 0. \] Rationella rotsatsen igen leder till att $z = -1$ är en rot. Polynomdivision, \[ z^3 + z^2 + 9 z + 9 = (z+1)(z^2 + 9) \] så vi har de tre ytterligare rötterna $z_4 =-1$, $z_5 = 3i$, $z_6 = -3i$.