Vi har att $w$ blir (respektive) \[
\frac12(2+\frac12) = \frac{5}{4}, \quad \frac{1}{2}\left(\frac{3+4i}{5}+\frac{5}{3+4i}\right) = \frac35,
\quad \frac{1}{2}\left(\frac{5(1+2i)}{5} + \frac{1-2i}{5}\right) = \frac{3+4i}{5}.
\] Låt nu $z = re^{it}$. Det räcker att visa att $2w = re^{it} + r^{-1}r^{-it}$ är reelt precis då $t \in \{0,\pi\}$ eller $r=1$. Vi har att imaginärdelen av $2w$ ges av \[
r \sin(t) + r^{-1} \sin(-t) = \sin(t)\left(r - 1/r \right).
\] Detta är noll precis då antingen $\sin(t) =0$ (och $t \in \{0,\pi\}$), eller så måste $r=1/r$, vilket ger att $r=1$.